Question

（2013•安慶三模）已知函數f（x）=ax³-8x與g（x）=bx²+cx的圖象都過點P（2，0），且它們在點P處有公共切線．
（1）求函數f（x）和g（x）的表達式及在點P處的公切線方程；
（2）設F（x）=

mg(x)

8x

+ln（x-1），其中m∈R，求F（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）求導數，利用圖象都過點P（2，0），在點P處有公共切線，建立方程，即可求得結論；
（2）求導數，分類討論，利用導數的正負，可得函數的單調區間．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³-8x過點P（2，0），
∴a=2，f（x）=2x³-8x，…（2分）
∵f′（x）=6x²-8，∴切線的斜率k=f′（2）=16．
∵g′（x）=2bx+c，f′（2）=g′（2）=4b+c=16…（1）
又∵g（x）=bx²+cx的圖象過點P（2，0），∴4b+2c=0…（2）
聯立（1）（2）解得：b=8，c=-16                               …（4分）
∴g（x）=8x²-16x；
切線方程為y=16（x-2），即16x-y-32=0     …（6分）
（2）∵F（x）=

mg(x)

8x

+ln（x-1）=m（x-2）+ln（x-1），
∴F′（x）=m+

1

x-1

=

m[x-(1- 1 m )]

x-1

（x＞1）…（9分）
①當m＜0時，1-

1

m

＞1．
又x＞1，∴當x∈(1，1-

1

m

)時，F′（x）＞0；
當x∈(1-

1

m

，+∞)時，F′（x）＜0．
∴F（x）的單調減區間是(1-

1

m

，+∞)，單調增區間是（1，1-

1

m

）；      …（11分）
②當m≥0時，顯然F（x）沒有單調減區間，單調增區間是（1，+∞）．   …（13分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，正確求導，合理分類是關鍵．