Question

求經過兩直線l₁:x-2y+4=0和l₂:x+y-2=0的交點P,且與直線l₃:3x-4y+5=0垂直的直線l的方程.

Answer 1

思路分析:直線l與3x-4y+5=0垂直,利用垂直直線的斜率之積為-1,可得直線l的斜率,然后按點斜式寫出方程.此外,也可用直線系方程求解.

解法一:解方程組

可以得到P(0,2).

因為l₃的斜率為,

所以直線l的斜率為,

所以l的方程為4x+3y-6=0.

解法二:設與直線l₃:3x-4y+5=0垂直的直線系的方程為4x+3y+m=0.

因為它過定點P(0,2),

所以4×0+3×2+m=0,m=-6,

所以直線l的方程為4x+3y-6=0.

解法三:設經過兩直線l₁和l₂的交點的直線系方程為

x-2y+4+λ(x+y-2)=0,

即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0,

顯然λ≠2,故其斜率為.

由題意知=,

解得λ=11,

所以直線l的方程為4x+3y-6=0.

  綠色通道:兩條直線的位置與兩條直線的交點存在著等價關系,兩條直線的交點又與其方程組成的方程組存在著等價關系,即兩直線相交?有一個交點?方程組有唯一解,對于垂直直線的斜率,兩者之積為-1,知其一可求另一個;平行直線的斜率相等.