Question

如圖所示，已知圓，定點，為圓上一動點，點在上，點在上，且滿足，，點的軌跡為曲線．

(Ⅰ) 求曲線的方程；
(Ⅱ) 若點在曲線上，線段的垂直平分線為直線，且成等差數列，求的值，并證明直線過定點；
（Ⅲ）若過定點(0，2)的直線交曲線于不同的兩點、（點在點、之間），且滿足，求的取值范圍．

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意知，圓的圓心為，半徑．
∵．
∴ 為線段的垂直平分線，∴ ．
又∵ ，∴ ．
∴ 動點的軌跡是以點（－1，0），（1，0）為焦點且長軸長為的橢圓．                                              ……………………2分                            
∴ ．
∴ 曲線的方程為．                    ……………………3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，曲線的軌跡為橢圓，為右焦點，其右準線方程為
設到直線的距離為．
根據橢圓的定義知,
得．
同理可得：，．      ……………………5分
∵ 成等差數列，
∴ ，代入得．     ……………………6分
下面證明直線過定點．
由，可設線段的中點為（．
∴    得．
∴ 直線的斜率，則直線的方程為：，
即．                              ……………………8分
∴ 直線過定點，定點為．          　      ……………………9分
（Ⅲ）當直線斜率存在時，設直線方程為，
代入橢圓，得．
由得．                     　      ……………………10分
設，，    ①
 ．     ②
又∵ ，
即．       ∴ ．   ③
由①②③聯立得，     
即，整理得 ． ………………12分
∵ ，∴ ，
∴ ，解得且．
又∵ ，  ∴ ．                 ……………………13分
當直線斜率不存在時，直線方程為，此時，即．
∴ ，即所求的取值范圍是．         ……………………14分