Question

雙曲線C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，直線y=x為C的一條漸近線，
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)P（0，4）的直線l，交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)（Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合），當(dāng)，且時，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）設(shè)雙曲線方程為，由橢圓，求得兩焦點(diǎn)為， ∴對于雙曲線C：c=2， 又為雙曲線C的一條漸近線， ∴，解得， ∴雙曲線C的方程為。
（2）由題意知直線l的斜率k存在且不等于零， 設(shè)l的方程：，， 則， ， ∴， ∴， ∵在雙曲線C上， ∴， ∴， ∴， 同理有：， 若則直線l過頂點(diǎn)，不合題意，∴， ∴是二次方程的兩根， ∴，∴， 此時△＞0，∴k=±2， ∴所求Q的坐標(biāo)為（±2，0）。