Question

銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos（B-A）=2sin²

C

2

．
（Ⅰ）求sinAsinB的值；
（Ⅱ）若a=3，b=2，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,兩角和與差的正弦函數

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）先利用余弦的二倍角公式對已知等式化簡，利用兩角和公式展開整理可求得sinAsinB的值．
（Ⅱ）根據正弦定理確定sinA和sinB的關系式，進而求得sinA和sinB，進而求得cosA和cosB，最后利用兩角和公式求得sinC的值，通過三角形面積公式求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵cos（B-A）=2sin²

C

2

=1-cosC=1+cos（B+A），
∴cosBcosA+sinBsinA=1+cosBcosA-sinBsinA，
即sinAsinB=

1

2

，
（Ⅱ）∵

sinA

sinB

=

a

b

=

3

2

，又sinAsinB=

1

2

，
解得：sinA=

3

2

，sinB=

3

3

，
因為是銳角三角形，∴cosA=

1

2

，cosB=

6

3

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3 2 + 3

6

∴三角形面積S=

1

2

absinC=

1

2

×3×2×

3 2 + 3

6

=

3 2 + 3

2

．

點評：本題主要考查了解三角形的應用．考查了學生三角函數基礎知識綜合運用．