【題目】對于無窮數列,
,若
-
…,則稱
是
的“收縮數列”.其中,
,
分別表示
中的最大數和最小數.已知
為無窮數列,其前
項和為
,數列
是
的“收縮數列”.
(1)若,求
的前
項和;
(2)證明:的“收縮數列”仍是
;
(3)若,求所有滿足該條件的
.
【答案】(1)(2)證明見解析(3)所有滿足該條件的數列
為
【解析】
(1)由可得
為遞增數列,
,
,從而易得
;
(2)利用,
,可證
是不減數列(即
),而
,由此可得
的“收縮數列”仍是
.
(3)首先,由已知,當時,
;當
時,
,
;當
時,
(*),這里分析
與
的大小關系,
,
均出現矛盾,
,結合(*)式可得
,因此猜想
(
),用反證法證明此結論成立,證明時假設
是首次不符合
的項,則
,這樣題設條件變為
(*),仿照討論
的情況討論
,可證明.
解:(1)由可得
為遞增數列,
所以,
故的前
項和為
.
(2)因為,
,
所以
所以.
又因為,所以
,
所以的“收縮數列”仍是
.
(3)由可得
當時,
;
當時,
,即
,所以
;
當時,
,即
(*),
若,則
,所以由(*)可得
,與
矛盾;
若,則
,所以由(*)可得
,
所以與
同號,這與
矛盾;
若,則
,由(*)可得
.
猜想:滿足的數列
是:
.
經驗證,左式,
右式.
下面證明其它數列都不滿足(3)的題設條件.
法1:由上述時的情況可知,
時,
是成立的.
假設是首次不符合
的項,則
,
由題設條件可得(*),
若,則由(*)式化簡可得
與
矛盾;
若,則
,所以由(*)可得
所以與
同號,這與
矛盾;
所以,則
,所以由(*)化簡可得
.
這與假設矛盾.
所以不存在數列不滿足的
符合題設條件.
法2:當時,
,
所以
即
由可得
又,所以可得
,
所以,
即
所以等號成立的條件是
,
所以,所有滿足該條件的數列為
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知球O是正三棱錐(底面為正三角形,頂點在底面的射影為底面中心)A-BCD的外接球,BC=3,,點E在線段BD上,且BD=3BE,過點E作圓O的截面,則所得截面圓面積的取值范圍是__.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在三棱柱中,
平面
是線段
上的動點,
是線段
上的中點.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若,且直線
所成角的余弦值為
,試指出點
在線段
上的位置,并求三棱錐
的體積.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的方程
,焦點為
,已知點
在
上,且點
到點
的距離比它到
軸的距離大1.
(1)試求出拋物線的方程;
(2)若拋物線上存在兩動點
(
在對稱軸兩側),滿足
(
為坐標原點),過點
作直線交
于
兩點,若
,線段
上是否存在定點
,使得
恒成立?若存在,請求出
的坐標,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】過拋物線外一點M作拋物線的兩條切線,兩切點的連線段稱為點M對應的切點弦已知拋物線為,點P,Q在直線l:
上,過P,Q兩點對應的切點弦分別為AB,CD
當點P在l上移動時,直線AB是否經過某一定點,若有,請求出該定點的坐標;如果沒有,請說明理由
當
時,點P,Q在什么位置時,
取得最小值?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設P為橢圓1(a>b>0)上任一點,F1、F2為橢圓的焦點,|PF1|+|PF2|=4,離心率為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線l:y=kx+m(≠0)與橢圓交于A、B兩點,若線段AB的中點C的直線yx上,O為坐標原點.求△OAB的面積S的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設函數在
上有意義,實數
和
滿足
,若
在區間
上不存在最小值,則稱
在
上具有性質
.
(1)當,且
在區間
上具有性質
時,求常數
的取值范圍;
(2)已知,且當
,
,判斷
在區間
上是否具有性質
,請說明理由:
(3)若對于滿足的任意實數
和
,
在
上具有性質
時,且對任意
,當
時有:
,證明:當
時,
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知數列滿足:
(常數
),
.數列
滿足:
.
(1)求的值;
(2)求出數列的通項公式;
(3)問:數列的每一項能否均為整數?若能,求出k的所有可能值;若不能,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】經過多年的運作,“雙十一”搶購活動已經演變成為整個電商行業的大型集體促銷盛宴.為迎接2018年“雙十一”網購狂歡節,某廠家擬投入適當的廣告費,對網上所售產品進行促銷.經調查測算,該促銷產品在“雙十一”的銷售量p萬件與促銷費用x萬元滿足(其中
,a為正常數).已知生產該產品還需投入成本
萬元(不含促銷費用),每一件產品的銷售價格定為
元,假定廠家的生產能力完全能滿足市場的銷售需求.
(1)將該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數;
(2)促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大?并求出最大利潤的值.
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