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【題目】對于無窮數列,,若,則稱收縮數列”.其中,分別表示中的最大數和最小數.已知為無窮數列,其前項和為,數列收縮數列”.

1)若,求的前項和;

2)證明:收縮數列仍是;

3)若,求所有滿足該條件的.

【答案】(1)(2)證明見解析(3)所有滿足該條件的數列

【解析】

1)由可得為遞增數列,,,從而易得;

2)利用,

,可證是不減數列(即),而,由此可得收縮數列仍是.

3)首先,由已知,當時,;當時,;當時,*),這里分析的大小關系,,均出現矛盾,,結合(*)式可得,因此猜想),用反證法證明此結論成立,證明時假設是首次不符合的項,則,這樣題設條件變為*),仿照討論的情況討論,可證明.

解:(1)由可得為遞增數列,

所以

的前項和為.

2)因為,

,

所以

所以.

又因為,所以,

所以收縮數列仍是.

3)由可得

時,

時,,即,所以;

時,,即*),

,則,所以由(*)可得,與矛盾;

,則,所以由(*)可得

所以同號,這與矛盾;

,則,由(*)可得.

猜想:滿足的數列是:

.

經驗證,左式,

右式.

下面證明其它數列都不滿足(3)的題設條件.

1:由上述時的情況可知,時,是成立的.

假設是首次不符合的項,則,

由題設條件可得*),

,則由(*)式化簡可得矛盾;

,則,所以由(*)可得

所以同號,這與矛盾;

所以,則,所以由(*)化簡可得.

這與假設矛盾.

所以不存在數列不滿足符合題設條件.

2:當時,,

所以

可得

,所以可得,

所以

所以等號成立的條件是

,

所以,所有滿足該條件的數列.

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