Question

【題目】設P為橢圓1（a＞b＞0）上任一點，F1、F2為橢圓的焦點，|PF1|+|PF2|＝4，離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線l：y＝kx+m（≠0）與橢圓交于A、B兩點，若線段AB的中點C的直線yx上，O為坐標原點．求△OAB的面積S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據題意，計算出的值即可；

（2）聯立直線與橢圓方程消去得到一個關于的一元二次方程，由韋達定理可得，再將其代入所在直線上，可解得，故可化簡關于的一元二次方程，從而得到關于的表達式，再結合不等式即可得到最大值.

（1）根據題意，可得2a＝PF1|+|PF2|＝4，所以a＝2，

又c＝ae，所以b，

所以橢圓的方程為：；

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），C（xc，yc），

將直線l：y＝kx+m代入方程，

得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0（*）

由韋達定理可知xc，

從而yc＝kxc+m，

又線段AB的中點C的直線yx上，

所以，解得k＝﹣1，

則（*）變為3x2﹣4mx+2m2﹣4＝0，

所以|AB|，

則△OAB底邊AB的高h，所以S，

∵（6﹣m2）m2，

∴S，即S得最大值為．