Question

【題目】過(guò)拋物線外一點(diǎn)M作拋物線的兩條切線，兩切點(diǎn)的連線段稱為點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦已知拋物線為，點(diǎn)P，Q在直線l：上，過(guò)P，Q兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦分別為AB，CD

當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，直線AB是否經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，若有，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P，Q在什么位置時(shí)，取得最小值？

Answer 1

【答案】（1）直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn) ；（2）當(dāng)，時(shí)，取得最小值4.

【解析】

設(shè)，，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別求出直線PA，PB的方程可得，可得直線AB的方程進(jìn)而求出定點(diǎn)．

設(shè)，，根據(jù)可得，妨設(shè)，則，且，，根據(jù)基本不等式即可求出．

解：設(shè)，，，

則，，

拋物線的方程可變形為，則，

直線PA的斜率為，

直線PA的方程，化簡(jiǎn)，

同理可得直線PB的方程為，

由可得，

直線AB的方程為，則是方程的解，

直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

設(shè)，，

由可知，，

，

，即，

，異號(hào)，

不妨設(shè)，則，且，

，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，

即當(dāng)，時(shí)，取得最小值4