Question

19．如圖，設P是圓x²+y²=25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|=$\frac{4}{5}$|PD|．
（1）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程
（2）求過點（3，0），且斜率為$\frac{4}{5}$的直線被C所截線段的長度．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：M的坐標為（x，y），P的坐標為（x'，y'），則|MD|=$\frac{4}{5}$|PD|，解得：$\left\{{\begin{array}{l}{x'=x}\\{y'=\frac{5}{4}y}\end{array}}\right.$，代入x'²+y'²=25，整理得：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$；
（2）設直線方程為：$y=\frac{4}{5}（{x-3}）$，代入橢圓方程，由韋達定理可知：x₁+x₂=3，x₁•x₂=-8，弦長公式：丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，即可求得直線被C所截線段的長度．

解答 解：（1）設M的坐標為（x，y），P的坐標為（x'，y'），
由|MD|=$\frac{4}{5}$|PD|，解得：$\left\{{\begin{array}{l}{x'=x}\\{y'=\frac{5}{4}y}\end{array}}\right.$
∵P在圓上，
∴x'²+y'²=25，即${x^2}+{（{\frac{5}{4}y}）^2}=25$，整理得：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，
即C的方程為：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$；…（4分）
（2）過點（3，0），斜率為k=$\frac{4}{5}$，的直線方程為：$y=\frac{4}{5}（{x-3}）$，…（6分）
設直線與C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程$y=\frac{4}{5}（{x-3}）$代入C的方程，得$\frac{x^2}{25}+\frac{{{{（{x-3}）}^2}}}{25}=1$，整理得：x²-3x-8=0…（8分）
∴由韋達定理可知：x₁+x₂=3，x₁•x₂=-8，…（10分）
∴線段AB的長度為$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_2}-{x_1}|=\sqrt{1+{{（\frac{4}{5}）}^2}}•\sqrt{{3^2}+32}=\sqrt{\frac{41}{25}×41}=\frac{41}{5}$，
線段AB的長度丨AB丨=$\frac{41}{5}$…（12分）

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，橢圓的標準方程的應用，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．