Question

某同學為研究函數的性質，構造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點P是邊BC上的一個動點，設CP=x，則AP+PF=f（x）．請你參考這些信息，推知函數f（x）的圖象的對稱軸是    ；函數g（x）=4f（x）-9的零點的個數是    ．

Answer 1

【答案】分析：從運動的觀點看，當點P從C點向點B運動的過程中，在運動到BC的中點之前，PA+PF的值漸漸變小，過了中點之后又漸漸變大，可得函數f（x）的圖象的對稱軸；函數g（x）=4f（x）-9的零點的個數就是f（x）=的解的個數．
解答：解：由題意可得函數f（x）=AP+PF，從運動的觀點看，當點P從C點向點B運動的過程中，在運動到BC的中點之前，PA+PF的值漸漸變小，過了中點之后又漸漸變大，
∵當點P在BC的中點上時，即A、B、P三點共線時，即P在矩形ADFE的對角線AF上時，PA+PF取得最小值；當P在點B或點C時，PA+PF取得最大值
∴函數f（x）的圖象的對稱軸是；
g（x）=4f（x）-9=0，即 f（x）=．故函數g（x）=4f（x）-9的零點的個數就是f（x）=的解的個數．
而由題意可得 f（x）=的解有2個，
故答案為：；2
點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數判斷，考查化歸與轉化的數學思想，屬于中檔題．