Question

某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學生參加數學競賽，他們取得的成績（滿分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學生的平均分是85，乙班學生成績的中位數是83．
（1）求x和y的值；
（2）計算甲班7位學生成績的方差s²；
（3）從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，求甲班至少有一名學生的概率．
參考公式：方差，其中．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平均數求出x的值，中位數求出y的值，解答即可．
（2）根據所給的莖葉圖，得出甲班7位學生成績，做出這7次成績的平均數，把7次成績和平均數代入方差的計算公式，求出這組數據的方差．
（3）設甲班至少有一名學生為事件A，其對立事件為從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班沒有一名學生；先計算出從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生的所有抽取方法總數，和沒有甲班一名學生的方法數目，先求出從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班沒有一名學生的概率，進而結合對立事件的概率性質求得答案．
解答：解：（1）由莖葉圖可知甲班學生的總分為70×2+80×3+90×2+（8+9+5+x+0+6+2）=590+x，
又甲班學生的平均分是85，
總分又等于85×7=595．所以x=5
乙班學生成績的中位數是80+y=83，得y=3．
（2）∵某甲班7位學生成績分別為78，79，80，85，85，92，96．
甲班7位學生成績的平均數是 =85，
∴7位學生成績的方差是 （49+36+25+0+0+49+121）=70，
（3）甲班至少有一名學生為事件A，
其對立事件為從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班沒有一名學生；
根莖葉圖可得，甲有2次高于90分，乙有3次高于90分，
從甲、乙兩個班級成績中各隨機抽取2次成績，有5×4種情況，而沒有一次是甲班的有3×2次；
則 P（A）=1-=．
點評：本題考查數據的平均數公式、極差、方差與標準差與莖葉圖，考查計算能力，基礎題．