Question

12．已知命題p：函數$y=sin\frac{π}{2}x$在x=a處取到最大值；命題q：直線x-y+2=0與圓（x-3）²+（y-a）²=8相切；則p是q的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 即不充分也不必要條件

Answer 1

分析 根據三角函數的圖象和性質，可得命題p：a=1+4k，k∈Z；根據直線與圓的位置關系，可得命題q：a=1，或a=9，進而根據充要條件的定義，可得答案．

解答 解：當$\frac{π}{2}x$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即x=1+4k，k∈Z時，函數$y=sin\frac{π}{2}x$取到最大值；
故命題p：a=1+4k，k∈Z；
若直線x-y+2=0與圓（x-3）²+（y-a）²=8相切，
則$\frac{|3-a+2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
解得：a=1，或a=9，
即命題q：a=1，或a=9，
故p是q的必要不充分條件，
故選：B

點評 本題考查的知識點是充要條件的定義，函數的最值及其幾何意義，直線與圓的位置關系，難度中檔．