Question

某校設計了一個試驗過關能力比賽的方案，規定：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，且分別按照題目要求獨立完成，至少正確完成其中2題的才能過關，已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成，2題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是

2

3

，且每題正確完成與否互不影響．
（1）分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數的概率分布列，并計算數學期望；
（2）試用統計知識分析比較兩考生，誰的實驗操作能力穩定性強，通過的可能性大？

Answer 1

分析：（1）設甲、乙兩考生正確完成題數分別為x₁和x₂．由x₁=1，2，3，P(x1=1)=

C 1 4

C 3 6

=

1

5

，P（x₁=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，P（x₁=3）=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

，由此能求出甲考生正確完成題數x₁的概率分布列；x₂=0，1，2，3，且P(x2=0)=(1-

2

3

)3=

1

27

，P（x₂=1）=

C

1 3

•

2

3

•(1-

2

3

)2=

2

9

，P(x2=2)=

C

2 3

•(

2

3

)2•(1-

2

3

)=

4

9

，P(x2=3)=(

2

3

)3=

8

27

，由此能求出乙考生正確完成題數x₂的概率分布列．
（2）分別求出Ex₁和Ex₂，Dx₁和Dx₂，由Ex₁=Ex₂，知甲、乙兩考生正確完成題數的平均取值相同．由Dx₁＜Dx₂，知x₁的取值比x₂的取值相對集中于均值2的周圍，因此甲生的實際操作能力比乙生強．

解答：（1）設甲、乙兩考生正確完成題數分別為x₁和x₂．
∵x₁=1，2，3，
P(x1=1)=

C 1 4

C 3 6

=

1

5

，
P（x₁=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，
P（x₁=3）=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

，
∴甲考生正確完成題數x₁的概率分布列為

x1	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

∵x₂=0，1，2，3，且P(x2=0)=(1-

2

3

)3=

1

27

，
P（x₂=1）=

C

1 3

•

2

3

•(1-

2

3

)2=

2

9

，
P(x2=2)=

C

2 3

•(

2

3

)2•(1-

2

3

)=

4

9

，
P(x2=3)=(

2

3

)3=

8

27

，
∴乙考生正確完成題數x₂的概率分布列為：

x2	0	1	2	3
P	1 27	2 9	4 9	8 27

（2）∵Ex1=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2，
Ex₂=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2，
∴Ex₁=Ex₂，這表明甲、乙兩考生正確完成題數的平均取值相同．
∵Dx1=(1-2)2×

1

5

+(2-2)2×

3

5

+(3-2)2×

1

5

=

2

5

，
Dx2=(0-2)2×

1

27

+(1-2)2×

2

9

+(2-2)2×

4

9

+(3-2)2×

8

27

=

2

3

，
∴Dx₁＜Dx₂，這表明x₁的取值比x₂的取值相對集中于均值2的周圍，
因此甲生的實際操作能力比乙生強．

點評：本題考查概率的計算和分布列的求法，考查利用數學期望和方差分析比較甲、乙兩考生的實驗操作能力．解題時要認真審題，注意數學期望和方差在實際問題中的靈活運用．