Question

某校設計了一個試驗過關能力比賽的方案，規定：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，且分別按照題目要求獨立完成，至少正確完成其中2題的才能過關，已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成，2題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．
（1）分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數的概率分布列，并計算數學期望；
（2）試用統計知識分析比較兩考生，誰的實驗操作能力穩定性強，通過的可能性大？

Answer 1

（1）設甲、乙兩考生正確完成題數分別為x₁和x₂．
∵x₁=1，2，3，
=，
P（x₁=2）==，
P（x₁=3）=，
∴甲考生正確完成題數x₁的概率分布列為

x1	1	2	3
P

∵x₂=0，1，2，3，且，
P（x₂=1）==，
，
，
∴乙考生正確完成題數x₂的概率分布列為：

x2	0	1	2	3
P

（2）∵，
Ex₂==2，
∴Ex₁=Ex₂，這表明甲、乙兩考生正確完成題數的平均取值相同．
∵×=，
+，
∴Dx₁＜Dx₂，這表明x₁的取值比x₂的取值相對集中于均值2的周圍，
因此甲生的實際操作能力比乙生強．
分析：（1）設甲、乙兩考生正確完成題數分別為x₁和x₂．由x₁=1，2，3，=，P（x₁=2）==，P（x₁=3）=，由此能求出甲考生正確完成題數x₁的概率分布列；x₂=0，1，2，3，且，P（x₂=1）==，，，由此能求出乙考生正確完成題數x₂的概率分布列．
（2）分別求出Ex₁和Ex₂，Dx₁和Dx₂，由Ex₁=Ex₂，知甲、乙兩考生正確完成題數的平均取值相同．由Dx₁＜Dx₂，知x₁的取值比x₂的取值相對集中于均值2的周圍，因此甲生的實際操作能力比乙生強．
點評：本題考查概率的計算和分布列的求法，考查利用數學期望和方差分析比較甲、乙兩考生的實驗操作能力．解題時要認真審題，注意數學期望和方差在實際問題中的靈活運用．