Question

1．若曲線f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+lnx在其定義域內的一個子區間（k-2，k+2）內不是單調函數，則實數k的取值范圍是[2，3）．

Answer 1

分析 因為f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+lnx的定義域為（0，+∞），導函數f'（x）的零點為x=1；要使得f（x）在區間（k-2，k+2）內不是單調函數，即$\left\{\begin{array}{l}{k-2＜1＜k+2}\\{k-2≥0}\end{array}\right.$．

解答 解：因為f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+lnx的定義域為（0，+∞），又f'（x）=-x+$\frac{1}{x}$
由f'（x）=-x+$\frac{1}{x}$=0，得：x=1或-1（負舍）；
∴當x∈（0，1）時，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上單調遞增；
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上單調遞減；
要使得f（x）在區間（k-2，k+2）內不是單調函數，即$\left\{\begin{array}{l}{k-2＜1＜k+2}\\{k-2≥0}\end{array}\right.$
解得：2≤k＜3
故答案為：[2，3）

點評 本題主要考查了導數與函數單調性關系，以及導函數的圖形交點與原函數圖形間單調性的關系，屬中等題．