Question

若點M是△ABC所在平面內的一點，且滿足

AM

=

3

4

AB

+

1

4

AC

，則△ABM與△ABC面積之比等于

1：4

．

Answer 1

分析：欲求△ABM的面積與△ABC面積之比，而這兩個三角形同底只需求高之比即可，過C作AB的垂線交AB與點D，過點M作AB的垂線交AB與點E，取AH=

1

4

AC，AN=

3

4

AB，過點H作AB的垂線交AB與點F，可得S△ABM：S△ABC=ME：CD=HF：CD=AH：AC，得到結論．

解答：解：∵

AM

=

3

4

AB

+

1

4

AC

，
∴M，B，C 三點共線
過C作AB的垂線交AB與點D，過點M作AB的垂線交AB與點E
取AH=

1

4

AC，AN=

3

4

AB，過點H作AB的垂線交AB與點F
∵

AM

=

3

4

AB

+

1

4

AC

，
∴

AM

=

AH

+

AN

即AHMN構成平行四邊形，則HF=ME
而S_△ABM：S_△ABC=ME：CD=HF：CD=AH：AC=

1

4

∴△ABM的面積與△ABC面積之比為1：4．
故答案為：1：4．

點評：本題主要考查了向量在幾何中的應用，解題的關鍵利用同（等）底三角形面積這比等于高之比，屬于中檔題．