Question

7．設等差數列{a_n}的公差為d，前n項和為S_n，已知a₅=9，S₇=49．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=a_n•2ⁿ，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）由S₇=49結合等差數列的性質求得a₄=7，再求等差數列的公差和通項式；
（2）b_n=a_n•2ⁿ=（2n-1）•2ⁿ，用錯位相減法求數列{b_n}的前n項和為T_n

解答 解：（1）在等差數列{a_n}中，由S₇=7（a₁+a₇）=49，得：a₄=7，又∵a₅=9，∴公差d=2，a₁=1，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2n-1 （n∈N⁺），
（2）b_n=a_n•2ⁿ=（2n-1）•2ⁿ，
令數列{b_n}的前n項和為T_n，
T_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）•2^n…①
2 T_n=1×2²+3×2³++…+（2n-5）×2^n-1+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2^n+1…②
-T_n=2+2（2²+2³++…+2^n-1+•2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2ⁿ⁺²-8-+（2n-1）•2ⁿ⁺¹；
∴T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6．

點評 本題考查了等差數列的通項，及錯位相減法求和，屬于基礎題．