Question

設函數f(x)=sin(

πx

4

-

π

6

)-2cos2

πx

8

+1
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若y=g（x）與y=f（x）的圖象關于x=1對稱，求y=g（x）的解析式；
（3）把y=f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位后得到y=g（x）的圖象，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f(x)=sin(

πx

4

-

π

6

)-2cos2

πx

8

+1，利用倍角公式，和差角公式，可得函數的解析式化為正弦型函數，進而求出f（x）的最小正周期；
（2）由（1）中所得函數f（x）的解析式，由y=g（x）與y=f（x）的圖象關于x=1對稱，根據函數圖象對稱變換法則可得y=g（x）的解析式；
（3）由（1）中所得函數f（x）的解析式，及（2）中所得函數g（x）的解析式，設出平移量，并根據平移變換法則，構造關于m的方程，解方程可得答案．

解答：解：（1）f（x）=sin

π

4

xcos

π

6

-cos

π

4

xsin

π

6

-cos

π

4

x
=

3

2

sin

π

4

x-

3

2

cos

π

4

x=

3

sin(

π

4

x-

π

3

)              
故f（x）的最小正周期為T=

2π

π 4

=8
（2）在y=g（x）的圖象上任取一點（x，g（x）），
它關于x=1的對稱點為（2-x，g（x））．
由題設條件y=g（x）與y=f（x）的圖象關于x=1對稱，
∴點（2-x，g（x））在y=f（x）的圖象上，
從而g(x)=f(2-x)=

3

sin[

π

4

(2-x)-

π

3

]=

3

sin[

π

2

-

π

4

x-

π

3

]
=

3

sin（-

π

4

x+

π

6

）=

3

sin（

π

4

x+

5π

6

）
（3）把函數y=

3

sin(

π

4

x-

π

3

)的圖象向右平移m（m＞0）個單位到函數y=

3

sin[

π

4

(x-m)-

π

3

]=

3

sin(

π

4

x-

π

4

m-

π

3

)=

3

sin(

π

4

x+

5π

6

)，
所以-

π

4

m-

π

3

=

5π

6

+2kπ，k∈Z，即m=-4(2k+

7

6

)，k∈Z，
當k=-1時，m的最小值是

10

3

點評：本題考查的知識點是函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，函數的圖象，三角函數的化簡求值，三角函數的周期性及其求法，是三角函數的綜合應用，難度中等．