Question

（2012•衡陽模擬）已知函數f（x）=1+cosx+

3

sinx
（1）求函數f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且f（A）=3，a=

13

，b+c=5，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）利用輔助角公式對已知函數進行化簡可得f（x）=1+2sin（2x+

π

6

）+1，結合正弦函數的 性質可求函數的值域
（2）由f（A）=2sin（2A+

π

6

）+1=3，結合0＜A＜π可求A，然后由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA及已知可求bc，代入三角形的面積公式S=

1

2

bcsinA可求

解答：解：（1）f（x）=1+cosx+

3

sinx=2sin（2x+

π

6

）+1
∵-1≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴-1≤2sin(2x+

π

6

)+1≤3
∴函數f（x）的值域為[-1，3]
（2）∵f（A）=2sin（2A+

π

6

）+1=3，
∴sin（A+

π

6

）=1
∵0＜A＜π
∴A+

π

6

=

1

2

π
∴A=

1

3

π
由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA
∴a²=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc
∴bc=4
∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×

3

2

=

3

點評：本題主要考查了二倍角公式化簡三角函數式，y=Asin（ωx+φ）的值域的求解，余弦定理及面積公式的應用，屬于中檔試題．