Question

已知函數，其中t為常數，且t＞0．
（Ⅰ）求函數f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）數列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n項和S_n滿足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），且設，證明：對任意的x＞0，，n=1，2，…．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵，
∴…（3分）
∵x＞0，
∴當x＜t時，f'_t（x）＞0；
當x＞t時，f'_t（x）＜0，
∴當x=t時，f_t（x）取得最大值． …（6分）
（Ⅱ）證明：由題意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
∴a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）…（5分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂
=2^n-1+2^n-2+…+2²+5
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2+1+2
=2ⁿ+1（n≥3）…（8分）
檢驗知n=1、2時，結論也成立，
故a_n=2ⁿ+1．…（9分）
所以，
令，
則，
由（Ⅰ）可知，．
∴對任意的x＞0，不等式成立．…（13分）
分析：（Ⅰ）由，知．由此能求出函數f_t（x）在（0，+∞）上的最大值．
（Ⅱ）由S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），知a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂=2ⁿ+1．所以，由此能夠證明對任意的x＞0，不等式成立．
點評：本題考查數列與不等式的綜合應用，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數的性質和累加求和法的合理運用．易錯點是運算量大，容易失誤，解題時要注意計算能力的培養．