Question

已知定義域為R的函數f（x）對任意實數x，y滿足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且f（x）不是常函數，常數t＞0使f（t）=0，給出下列結論：①f(

t

2

)=

2

2

；②f（x）是奇函數；③f（x）是周期函數且一個周期為4t；④f（x）在（0，2t）內為單調函數．其中正確命題的序號是

③

．

Answer 1

分析：根據題意，在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令y=0可得2f（x）=2f（x）f（0），進而分析可得f（0）=1，依次分析4個命題，對于①、令x=y=

t

2

，可得f（t）+f（0）=2f（

t

2

）²，易得f（

t

2

）²=±

2

2

，故①錯誤，對于②、令x=0，可得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），分析可得f（y）+f（-y）=0不恒成立，f（x）不是奇函數，故②錯誤，對于③、令y=t可得，在f（x+t）+f（x-t）=2f（x）f（t）=0，可得f（x+t）=-f（x-t），進而可得f（x+3t）=-f（x+t）=f（x-t），即f（x+3t）=f（x-t），可以判斷③正確，對于④、根據題意，無法判斷f（x）的單調性，則④錯誤；綜合可得答案．

解答：解：根據題意，在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，
令y=0可得，2f（x）=2f（x）f（0），又由f（x）不是常函數，即f（x）=0不恒成立，則f（0）=1，
依次分析4個命題可得：
對于①、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令x=y=

t

2

，可得f（t）+f（0）=2f（

t

2

）²，
結合f（0）=1，f（t）=0，可得f（

t

2

）²=

1

2

，則可得f（

t

2

）²=±

2

2

，故①錯誤，
對于②、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令x=0，可得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），f（y）+f（-y）=0不恒成立，f（x）不是奇函數，故②錯誤，
對于③、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令y=t可得，在f（x+t）+f（x-t）=2f（x）f（t）=0，
即f（x+t）=-f（x-t），則f（x+3t）=-f（x+t）=f（x-t），即f（x+3t）=f（x-t），則f（x）是周期函數且一個周期為4t，③正確，
對于④、根據題意，無法判斷f（x）的單調性，則④錯誤；
故答案為③．

點評：本題考查抽象函數的應用，關鍵是根據題意，在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令y=0，求出f（0）的值，注意f（x）不是常函數，應該把f（0）=0舍去．