Question

已知三棱錐S-ABC的三條側棱兩兩垂直，側面積為2，則該三棱錐外接球的表面積的最小值為

4π

．

Answer 1

分析：三棱錐的三條側棱兩兩垂直，擴展為長方體，二者的外接球是同一個，根據球的表面積，求出球的直徑，就是長方體的對角線長，設出三度，利用基本不等式求出三棱錐外接球的直徑的最值，從而得出該三棱錐外接球的表面積的最小值．

解答：解：三棱錐的三條側棱兩兩垂直，擴展為長方體，二者的外接球是同一個，
因為三棱錐S-ABC的側面積為2，
設長方體的三同一點出發的三條棱長為：a，b，c，
所以

1

2

（SA•SB+SA•SC+SB•SC）=

1

2

（ab+bc+ac）=2，
⇒ab+bc+ac=4，
該三棱錐外接球的直徑2R就其長方體的對角線長，
從而有：（2R）²=a²+b²+c²≥ab+bc+ac=4，當且僅當a=b=c時取等號．
∴2R≥2⇒R≥1，
則該三棱錐外接球的表面積的最小值為4πR²=4π×1²═4π
故答案為：4π．

點評：本題是基礎題，考查球的內接體知識，基本不等式的應用，考查空間想象能力，計算能力，三棱錐擴展為長方體是本題的關鍵．