Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N^*），點（a_n，S_n）在直線y=2x-3n上．
（Ⅰ）求證：數列{a_n+3}是等比數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）數列{a_n}中是否存在成等差數列的三項？若存在，求出一組合適條件的三項；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由“點（a_n，S_n）在直線y=2x-3n上．”可得S_n=2a_n-3n，由通項和前n項和關系可得a_n+1=2a_n+3，變形為a_n+1+3=2（a_n+3）符合等比數列的定義．
（Ⅱ）由（I）根據等比數列通項公式求解有a_n+3=b•2^n-1=3•2ⁿ整理可得a_n=3•2ⁿ-3
（Ⅲ）先假設存在s、p、r∈N^*且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差數列根據等差中項有2a_p=a_s+a_r，再用通項公式展開整理有2^p-s+1=1+2^r-s∵因為s、p、r∈N^*且s＜p＜r所以2^p-s+1為偶數，1+2^r-s為奇數，奇數與偶數不會相等的．所以不存在．
解答：解：（Ⅰ）由題意知S_n=2a_n-3n
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-3（n+1）-2a_n+3n∴a_n+1=2a_n+3（2分）
∴a_n+1+3=2（a_n+3）
∴，又a₁=S₁=2a₁-3a₁=3
∴a₁+3=6（4分）
∴數列{a_n+3}成以6為首項以2為公比的等比數列
（Ⅱ）由（I）得a_n+3=b•2^n-1=3•2ⁿ
∴a_n=3•2ⁿ-3
（Ⅲ）設存在s、p、r∈N^*且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差數列
∴2a_p=a_s+a_r∴2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3∴2^p+1=2^s+2^r（9分）
即2^p-s+1=1+2^r-s（*）
∵s、p、r∈N^*且s＜p＜r
∴2^p-s+1為偶數，1+2^r-s為奇數
∴（*）為矛盾等式，不成立故這樣的三項不存在（12分）
點評：本題主要考查數列與函數的綜合運用，主要涉及了通項與前n項和的關系，構造等比數列，求通項，等差中項及數域問題．