Question

已知△ABC的重心，垂心，外心分別為G，H，O，且滿足

HG

=m

GO

，則m=

2

．

Answer 1

分析：利用△ABC的重心，垂心，外心的定義作出圖形然后利用重心，垂心，外心的性質證明△OFD∽△HCA，△OGD∽△HGA可得GH：OH=AH：OD=2：1再根據

HG

=m

GO

即可求出m．

解答：解：設H，G，O，分別為△ABC的垂心、重心、外心．連接AG并延長交BC于D，則可知D為BC中點．連接OD，又因為O為外心，所以OD⊥BC．連接AH并延長交BC于E，因H為垂心，所以 AE⊥BC．
∴OD∥AE，有∠ODA=∠EAD．
∵G為重心，則GA：GD=2：1．  
連接CG并延長交BA于F，則可知F為AB中點．同理，OF∥CM．
∴有∠OFC=∠MCF  
連接FD，有FD平行AC，且有DF：AC=1：2．FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD
又∵∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相減可得∠OFD=∠HCA，∠ODF=∠EAC
∴有△OFD∽△HCA
∴OD：HA=DF：AC=1：2
又∵GA：GD=2：1
∴OD：HA=GA：GD=2：1  
又∵∠ODA=∠EAD
∴△OGD∽△HGA
∴GH：OH=AH：OD=2：1
∵

HG

=m

GO

∴m=2
故答案為2

點評：本題主要考查了△ABC的重心，垂心，外心的定義和性質．解題的關鍵是首先△ABC的重心，垂心，外心的定義正確的做出圖形然后再根據三心的性質證明出△OFD∽△HCA，△OGD∽△HGA得出GH：OH=AH：OD=2：1，但此題作為一個填空題有些難度因此對于這個結論要牢記在以后的題目中若在出現與此有關的題目可快速求解！