Question

已知函數y=f(x)，x∈N，f(x)∈N，滿足：對任意x₁，x₂∈N，x₁≠x₂都有；
（1）試證明：f(x)為N上的單調增函數；
（2）n∈N，且f(0)=1，求證：f(n)≥n+1；
（3）對任意m，n∈N，有f(n+f(m))=f(n)+1， 證明：。

Answer 1

證明：（1）由知，
對任意，都有，
由于a-b＜0，從而，所以函數f(x)為上的單調增函數。
（2） 由（1）可知，都有f(n+1)＞f(n)，則有f(n+1)≥f(n)+1，
∴f(n+1)-f(n)≥1，
∴f(n)-f(n-1)≥1，
…
∴f(2)-f(1)≥1，
∴f(1)-f(0)≥1，
由此可得f(n)-f(0)≥n，
∴f(n)≥n+1命題得證。
（3）令m=0，可得出f(0)=1，
又f(n+1)=f(n)+1，
則f(n)=n+1，
∴。