Question

已知P(1，2)為圓x²＋y²＝9內一定點，過P作兩條互相垂直的任意弦交圓于B、C兩點，求B、C中點M的軌跡方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：設點M的坐標為(a，b)，并設點B、C兩點的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則由點M是B、C兩點的中點，可得＝a，＝B．又由其是圓上的點，得到x12＋y12＝9，x22＋y22＝9，然后利用PC⊥PB，可列出＝－1． 　　由x12＋y12＝9，x22＋y22＝9，得到x12＋y12＋x22＋y22＝18，可得到(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2－2x1x2－2y1y2－18＝0，解得x1x2＋y1y2＝2a2＋2b2－9；① 　　由＝－1，得到x1x2＋y1y2＝x1＋x2＋2(y1＋y2)－5＝2a＋4b－5．② 　　將②和①聯立得到2a2＋2b2－9＝2a＋4b－5，化簡即得到a2＋b2－a－2b－2＝0，所以點M的軌跡方程為x2＋y2－x－2y－2＝0．

提示：

設點M的坐標為(a，b)，并設點B、C兩點的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，然后根據＝a，＝b及題給條件列式化簡得到關于a、b的關系式即為點M的軌跡方程．