Question

已知函數f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）設g（x）=x²-2x，若對任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)，知f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

（x＞0）．由曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，能求出a的值．
（Ⅱ）f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

（x＞0）．根據a的取值范圍進行分類討論能求出f（x）的單調區間．
（Ⅲ）對任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），等價于在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max．由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)，
∴f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

（x＞0）．
∵曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，
∴f'（1）=f'（3），
即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+

2

3

，
解得a=

2

3

．
（Ⅱ）f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

（x＞0）．
①當a≤0時，x＞0，ax-1＜0，
在區間（0，2）上，f'（x）＞0；
在區間（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的單調遞增區間是（0，2），
單調遞減區間是（2，+∞）．
②當0＜a＜

1

2

時，

1

a

＞2，
在區間（0，2）和(

1

a

，+∞)上，f'（x）＞0；
在區間(2，

1

a

)上f'（x）＜0，
故f（x）的單調遞增區間是（0，2）和(

1

a

，+∞)，單調遞減區間是(2，

1

a

)
③當a=

1

2

時，f′(x)=

(x-2)2

2x

，故f（x）的單調遞增區間是（0，+∞）．
④當a＞

1

2

時，0＜

1

a

＜2，在區間(0，

1

a

)和（2，+∞）上，f'（x）＞0；
在區間(

1

a

，2)上f'（x）＜0，
故f（x）的單調遞增區間是(0，

1

a

)和（2，+∞），單調遞減區間是(

1

a

，2)．
（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max．
由已知，g（x）_max=0，由（Ⅱ）可知，
①當a≤

1

2

時，f（x）在（0，2]上單調遞增，
故f（x）_max=f（2）=2a-2（2a+1）+2ln2=-2a-2+2ln2，
所以，-2a-2+2ln2＜0，解得a＞ln2-1，
故ln2-1＜a≤

1

2

．
②當a＞

1

2

時，f（x）在(0，

1

a

]上單調遞增，
在[

1

a

，2]上單調遞減，
故f(x)max=f(

1

a

)=-2-

1

2a

-2lna．
由a＞

1

2

可知lna＞ln

1

2

＞ln

1

e

=-1，
2lna＞-2，-2lna＜2，
所以，-2-2lna＜0，f（x）_max＜0，
綜上所述，a＞ln2-1．

點評：本題考查導數在求函數的最大值與最小值問題中的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．易錯點是分類不清導致致出錯，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想的合理運用．