Question

在△ABC中，B(10，0)，直線BC與圓Γ：x²＋(y－5)²＝25相切，切點為線段BC的中點．若△ABC的重心恰好為圓Γ的圓心，則點A的坐標為       ．

 

Answer 1

【答案】

(0，15) 或 (－8，－1)

【解析】

試題分析：設(shè)BC的中點為D，設(shè)點A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），則由題意可得ΓD⊥BC，且D（）．故有圓心Γ（0，5）到直線AB的距離ΓD=r=5．

設(shè)BC的方程為y-0=k（x-10），即 kx-y-10k=0．則有，解得 k=0或 k=-．

當k=0時，有，當時，有，

解得，或.再有三角形的重心公式可得，由此可得

或

故點A的坐標為（0，15）或（-8，-1），

故答案為（0，15）或（-8，-1）．

考點：直線與圓的位置關(guān)系．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點到直線的距離公式、斜率公式、三角形的重心公式，屬于中檔題．