Question

已知

a

=(

3

cos

x

2

，2cos

x

2

)，

b

=(2cos

x

2

，-sin

x

2

)，函數f(x)=

a

•

b

．
（1）設θ∈[-

π

2

，  

π

2

]，且f(θ)=

3

+1，求θ的值；
（2）在△ABC中，AB=1，f(C)=

3

+1，且△ABC的面積為

3

2

，求sinA+sinB的值．

Answer 1

分析：（1）由向量的坐標表示，計算

a

•

b

，然后利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，變形后再利用兩角和的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的余弦函數，由f(θ)=

3

+1代入后即可求出cos（θ+

π

6

）的值，由θ的范圍求出θ+

π

6

的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出θ的度數；
（2）由C為三角形的內角根據（2）θ的度數求出C的度數，進而求出sinC的值，利用三角形的面積公式S=

1

2

abcosC，由S和cosC的值表示出ab的值，再由c與cosC的值，利用余弦定理表示出a²+b²的值，兩者聯立即可求出a與b的值，最后利用正弦定理化簡所求的式子，得到關于a與b的關系式，把a與b的值代入即可求出值．

解答：解：（1）根據題意化簡得：f(x)=2

3

cos2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=

3

(1+cosx)-sinx=2cos(x+

π

6

)+

3

（3分）
由f（θ）=2cos(θ+

π

6

)+

3

=

3

+1，得cos(θ+

π

6

)=

1

2

，（5分）
于是θ+

π

6

=2kπ±

π

3

(k∈Z)，
因為θ∈[-

π

2

， 

π

2

]，所以θ=-

π

2

或

π

6

；（7分）
（2）因為C∈（0，π），由（1）知C=

π

6

．（9分）
因為△ABC的面積為

3

2

，所以

3

2

=

1

2

absin

π

6

，于是ab=2

3

．①
在△ABC中，設內角A、B的對邊分別是a，b．
由余弦定理得1=a2+b2-2abcos

π

6

=a2+b2-6，所以a²+b²=7．②
由①②可得

a=2 b= 3

或

a= 3 b=2.

于是a+b=2+

3

，（12分）
由正弦定理得

sinA

a

=

sinB

b

=

sinC

1

=

1

2

，
所以sinA+sinB=

1

2

(a+b)=1+

3

2

．（14分）

點評：此題考查了平面向量的數量積運算，三角函數的恒等變形，三角形的面積公式，以及正弦、余弦定理，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．