Question

在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在線段AC，AD=kAC（k為常數，且0＜k＜1），BD=l為定長，則△ABC的面積最大值為（　　）

• A、

  l2

  1-k2

• B、

  l

  1-k2

• C、

  l2

  2(1-k2)

• D、

  l

  2(1-k2)

Answer 1

考點：正弦定理

專題：解三角形

分析：判斷出AB=AC，以B為原點、BD為x軸建立平面直角坐標系，設A（x，y），y＞0，根據題意得到AD=kAC，利用兩點間的距離公式列出關系式，化簡后表示出y²，利用二次函數的性質求出y的最大值，求出△ABD面積的最大值，由AD=kAC得出△ABC面積的最大值．

解答： 解：由題意得AB=AC，
如圖所示，以B為原點，BD為x軸建立平面直角坐標系，設A（x，y），y＞0，
∵AB=AC，BD=l，∴D（l，0），
由AD=kAC=kAB得，AD²=k²AB²，
∴（x-l）²+y²=k²（x²+y²），
整理得：y²=

-(l-k2)x2+2lx-l2

1-k2

，
當x=-

2l

-2(1-k2)

=

l

1-k2

時，
y²=

-(l-k2)x2+2lx-l2

1-k2

取到最大值是：

k2l2

(1-k2)2

，
∴y的最大值是

kl

1-k2

，
∵BD=l，∴（S_△ABD）_max=

1

2

×BD×y=

kl2

2(1-k2)

，
∵AD=kAC，∴（S_△ABC）_max=

1

k

（S_△ABD）_max=

l2

2(1-k2)

，
所以△ABC的面積最大值為

l2

2(1-k2)

，
故選：C．

點評：本題考查坐標法解決平面幾何問題，兩點間的距離公式，及二次函數的性質，建立適當的坐標系是解本題的關鍵．