Question

已知點（x，y）在圓（x-2）²+（y+3）²=1上．
（1）求x+y的最大值和最小值；
（2）求

y

x

的最大值和最小值；
（3）求

x2+y2+2x-4y+5

的最大值和最小值．

Answer 1

考點：圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：（1）設x+y=z，利用直線和圓相切即可求出x+y的最大值和最小值；
（2）設k=

y

x

，利用斜率即可求出k的最大值和最小值；
（3）利用兩點間的距離公式即可求

x2+y2+2x-4y+5

的最大值和最小值．

解答： 解：（1）設x+y=z，即x+y-z=0，
當直線和圓相切時，圓心C（2，-3）到直線的距離d=

|2-3-z|

1+1

=

|z+1|

2

=1，
即|z+1|=

2

，解得z=

2

-1或z=-

2

-1，
故x+y的最大值為

2

-1，最小值為-

2

-1．
（2）設k=

y

x

，則直線方程為kx-y=0，
當直線和圓相切時，圓心（2，-3）到直線的距離d=

|2k+3|

1+k2

=1，
即3k²+12k+8=0，
解得k=

-6+2 3

3

或k=

-6-2 3

3

，
故

y

x

的最大值為

-6+2 3

3

和最小值

-6-2 3

3

；
（3）

x2+y2+2x-4y+5

=

(x+1)2+(y-2)2

，
則根式的幾何意義為圓上點到定點D（-1，2）的距離，
則CD=

(-1-2)2+(-3-2)2

=

9+25

=

34

，
則

x2+y2+2x-4y+5

的最大值

34

+1，最小值為

34

-1．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，利用數形結合以及直線和圓相切的等價條件是解決本題的關鍵．