Question

（本小題滿分l2分） 已知函數f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1處取得極值.

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）求證：對于區間[－1，1]上任意兩個自變量的值x1，x2，都有|f（x1）－f（x2）|≤4；

（3）若過點A（1，m）（m≠－2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數m的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）略；（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用導數與極值的關系可列出關于的二元一次方程組，從而可求出函數的解析式.由題意可知，依題意可知，從而可列方程組，解得，所以函數的解析式為；

（2）利用函數單調性求最值的方法，先判斷函數在區間上的單調性，并求出函數在區間上的最大值與最小值之差，從而命題可得證明.由（1）可知，令，解得，即函數在區間上為單調遞減，所以，，因為對于區間上的任意兩個自變量的值，

都有，所以命題得證；

（3）由（1）可知， 由曲線方程可知點不在曲線上.

設切點為，則

因，故切線的斜率為，整理得，

因為過點可作曲線的三條切線，所以關于的方程有三個實根，

設，則，由，得或，

所以在，上單調遞增，在上單調遞減，因此函數的極值點為0、1，

所以關于的方程有三個實根的充要條件是，解得.

故所求實數的取值范圍為.

試題解析：（1）f′（x）=3ax2+2bx－3，依題意，f′（1）=f′（－1）=0，

即 解得a=1，b=0.∴f（x）=x3－3x.-------3分

（2）∵f（x）=x3－3x,∴f′（x）= 3x2－3=3（x+1）（x－1），

當－1<x<1時，f′（x）<0，故f（x）在區間[－1， 1]上為減函數，fmax（x）=f（－1）=2，fmin（x）=f（1）=－2

∵對于區間[－1，1]上任意兩個自變量的值x1，x2，

都有|f（x1）－f（x2）|≤|fmax（x） －fmin（x）|，所以|f（x1）－f（x2）|≤2－（－2）=4 -----7分

（3）f′（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1），

∵曲線方程為y=x3－3x，∴點A（1，m）不在曲線上.

設切點為M（x0，y0），則點M的坐標滿足因，

故切線的斜率為，整理得，

因為過點可作曲線的三條切線，所以關于的方程有三個實根，

設，則，由，得或，

所以在，上單調遞增，在上單調遞減，因此函數的極值點為0、1，

所以關于的方程有三個實根的充要條件是，解得.

故所求實數的取值范圍為. 12分

考點：1.導函數的應用；2.利用函數最值證明不等式.