Question

設函數f(x)=sin(

π

3

+2x)-sin(

π

3

-2x)+2

3

sin(

π

4

-x)sin(

π

4

+x)，
（Ⅰ）當f（x）取最小值時，求x的集合；
（Ⅱ）寫出f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式化簡函數f（x）的解析式為2sin（2x+

π

3

），根據 2x+

π

3

=2kπ-

π

2

，解出x的值即為所求．
（Ⅱ）由 kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤kπ+

π

2

，k∈z，解不等式可得x的范圍即為f（x）的單調遞增區間．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin(

π

3

+2x)-sin(

π

3

-2x)+2

3

sin(

π

4

-x)sin(

π

4

+x)=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

），故當 2x+

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈z，即x=kπ-

5π

12

時，k∈z，f（x）取最小值，
故x的集合為{x|x=kπ-

5π

12

，k∈z}．
（Ⅱ）由 kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤kπ+

π

2

，k∈z，可得   kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

 z，
故f（x）的單調遞增區間為  [kπ-

5

12

π，kπ+

π

12

]，k∈z．

點評：本題考查兩角和差的正弦公式的應用，正弦函數的單調性和最值，化簡函數f（x）的解析式為2sin（2x+

π

3

），是解題
的關鍵．