Question

4．已知向量$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），則∠ABC=（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 根據題意，設向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角為θ，則∠ABC=π-θ，由向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BC}$的坐標計算可得cosθ的值，結合θ的范圍可得θ的值，又由∠ABC=π-θ，計算可得答案．

解答 解：設向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角為θ，則∠ABC=π-θ，
向量$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），則|$\overrightarrow{AB}$|=1，$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），則|$\overrightarrow{BC}$|=1，
且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又由0≤θ≤π，
則θ=$\frac{π}{6}$，
則∠ABC=π-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$；
故選：D．

點評 本題考查平面向量數量積的計算，注意向量與向量的夾角的定義．