Question

【題目】已知函數（其中）.

（1）討論的單調性；

（2）若對任意的，關于的不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）先求函數導數，再討論二次方程根的個數與大小，確定導函數符號，進而確定函數單調性（2）先將不等式轉化為函數最值問題： ，再結合（1）討論函數最小值取法，最后根據不等式解集得的取值范圍.

試題解析：（1）的定義域為

（i）若，則.由得或；由得

在上單調遞增，在上單調遞減；

（ii）若，則在上單調遞增；

（iii）若，則，由得或；由得

在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）由（1）知，（i）若，

當時，即時， 在上單調遞增，在上單調遞減.

，故對不恒成立；

當時，即時， 在上單調遞增，

（ii）若在上單調遞增，則，故；

綜上所述， 的取值范圍為.