Question

6．已知方程ln|x|-ax²+$\frac{3}{2}$=0有4個不同的實數根，則實數a的取值范圍是$（{0，\frac{e^2}{2}}）$．

Answer 1

分析 根據函數與方程的關系，利用參數分離式進行轉化，構造函數，求出函數的導數，研究函數的單調性和極值，利用數形結合進行求解即可．

解答 解：由ln|x|-ax²+$\frac{3}{2}$=0，得ax²=ln|x|+$\frac{3}{2}$，
∵x≠0，
∴方程等價為a=$\frac{ln|x|+\frac{3}{2}}{{x}^{2}}$，
設f（x）=$\frac{ln|x|+\frac{3}{2}}{{x}^{2}}$，
則函數f（x）是偶函數，
當x＞0時，f（x）=$\frac{lnx+\frac{3}{2}}{{x}^{2}}$，
則f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•{x}^{2}-（lnx+\frac{3}{2}）•2x}{{x}^{4}}$=$\frac{-2x（1+lnx）}{{x}^{4}}$，
由f′（x）＞0得-2x（1+lnx）＞0，得1+lnx＜0，即lnx＜-1，得0＜x＜$\frac{1}{e}$，此時函數單調遞增，
由f′（x）＜0得-2x（1+lnx）＜0，得1+lnx＞0，即lnx＞-1，得x＞$\frac{1}{e}$，此時函數單調遞減，
即當x＞0時，x=$\frac{1}{e}$時，函數f（x）取得極大值f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{ln\frac{1}{e}+\frac{3}{2}}{（\frac{1}{e}）^{2}}$
=（-1+$\frac{3}{2}$）e²=$\frac{1}{2}$e²，
作出函數f（x）的圖象如圖：
要使a=$\frac{ln|x|+\frac{3}{2}}{{x}^{2}}$，
有4個不同的交點，
則滿足0＜a＜$\frac{{e}^{2}}{2}$，
故答案為：$（{0，\frac{e^2}{2}}）$．

點評 本題主要考查函數與方程的應用，利用參數分離法，構造函數，研究函數的單調性和極值，借助數形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．