Question

設平面內的向量

OA

=(-1，-3)，

OB

=(5，3)，

OM

=(2，2)，點P在直線OM上，且

PA

•

PB

=16．
（Ⅰ）求

OP

的坐標；
（Ⅱ）求∠APB的余弦值；
（Ⅲ）設t∈R，求|

OA

+t

OP

|的最小值．

Answer 1

分析：（I）由點P在直線OM上，可知

OP

與

OM

共線，利用向量共線的充要條件得到有

OP

=(x，x)代入

PA

•

PB

=16，利用向量的數量積公式列出關于x的方程，求出

OP

的坐標；
（II）由（I）可求得

PA

=(-6，-8)，

PB

=(0，-2)，利用向量模的坐標公式求出它們的模，代入

PA

•

PB

=16．
利用數量積公式求出∠APB的余弦值；
（III）利用向量模的坐標公式將|

OA

+t

OP

|表示成關于t的二次函數，然后求出其最小值．

解答：解：（Ⅰ）設

OP

=(x，y)．
由點P在直線OM上，可知

OP

與

OM

共線．
而

OM

=（2，2），
所以2x-2y=0，即x=y，有

OP

=(x，x)．
由

PA

=

OA

-

OP

=(-1-x，-3-x)，

PB

=

OB

-

OP

=(5-x，3-x)，
所以

PA

•

PB

=(-1-x)(5-x)+(-3-x)(3-x)，
即

PA

•

PB

=2x2-4x-14．
又

PA

•

PB

=16，所以2x²-4x-14=16．
可得x=5或-3．
所以

OP

=(5，5)或（-3，-3）．…（4分）
當

OP

=(5，5)時，

PA

=(-6，-8)，

PB

=(0，-2)滿足

PA

•

PB

=16，
當

OP

=(3，3)時，

PA

=(-4，-6)，

PB

=(2，0)不滿足

PA

•

PB

=16，
所以

OP

=(5，5)
（Ⅱ）由

PA

=(-6，-8)，

PB

=(0，-2)，
可得|

PA

|=10，|

PB

|=2．
又

PA

•

PB

=16．
所以cos∠APB=

PA • PB

| PA |•| PB |

=

16

10×2

=

4

5

．…（8分）
（Ⅲ）

OA

+t

OP

=(-1+5t，-3+5t)，|

OA

+t

OP

|=

50t2-40t+10

．
當t=

2

5

時，|

OA

+t

OP

|的最小值是

2

．　　　　　　　　　…（12分）

點評：本題考查平面向量共線定理，平面向量數量積的坐標表示，二次函數的單調性及最值的求解，向量夾角的坐標表示．熟練掌握向量的基礎知識并能靈活運用是解決問題的關鍵．