Question

設平面內的向量

OA

=(-1，-3)，

OB

=(5，3)，

OM

=(2，2)，點P在直線OM上，且

PA

•

PB

=16．
（Ⅰ）求

OP

的坐標；
（Ⅱ）求∠APB的余弦值；
（Ⅲ）設t∈R，求|

OA

+t

OP

|的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）設

OP

=(x，y)．
由點P在直線OM上，可知

OP

與

OM

共線．
而

OM

=（2，2），
所以2x-2y=0，即x=y，有

OP

=(x，x)．
由

PA

=

OA

-

OP

=(-1-x，-3-x)，

PB

=

OB

-

OP

=(5-x，3-x)，
所以

PA

•

PB

=(-1-x)(5-x)+(-3-x)(3-x)，
即

PA

•

PB

=2x2-4x-14．
又

PA

•

PB

=16，所以2x²-4x-14=16．
可得x=5或-3．
所以

OP

=(5，5)或（-3，-3）．…（4分）
當

OP

=(5，5)時，

PA

=(-6，-8)，

PB

=(0，-2)滿足

PA

•

PB

=16，
當

OP

=(3，3)時，

PA

=(-4，-6)，

PB

=(2，0)不滿足

PA

•

PB

=16，
所以

OP

=(5，5)
（Ⅱ）由

PA

=(-6，-8)，

PB

=(0，-2)，
可得|

PA

|=10，|

PB

|=2．
又

PA

•

PB

=16．
所以cos∠APB=

PA • PB

| PA |•| PB |

=

16

10×2

=

4

5

．…（8分）
（Ⅲ）

OA

+t

OP

=(-1+5t，-3+5t)，|

OA

+t

OP

|=

50t2-40t+10

．
當t=

2

5

時，|

OA

+t

OP

|的最小值是

2

．　　　　　　　　　…（12分）