Question

【題目】如圖，已知四邊形是直角梯形，，，且，是等邊三角形，，為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).

【解析】分析: (1)先證明平面,再證明平面.(2)利用空間向量法求二面角的余弦值．

詳解：（1）證明：取的中點(diǎn)為，連接，，

由題意知 ，可得四邊形為平行四邊形，所以．

由題可知，，，且，平面，面，

所以平面，

又∵平面，∴，

∵為正三角形，∴，

又∵，平面，平面，

∴平面，

又，

∴平面．

（2）解：由（1）可知平面，又平面，則平面平面，

為正三角形，因此取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，在底面內(nèi)過(guò)作的垂線為軸，為軸，建立空間坐標(biāo)系，

∵，

∴，，，，，，

則，，，

設(shè)平面的法向量為，

則即可取，

，

設(shè)二面角的大小為，則．