Question

已知橢圓：

x2

8

+

y2

4

=1．
（1）若點（x，y₀）為橢圓上的任意一點，求證：直線

x0x

8

+

y0y

4

=1為橢圓的切線；
（2）若點P為直線x+y-4=0上的任意一點，過P作橢圓的切線PM、PN，其中M、N為切點，試求橢圓的右焦點F到直線MN的距離的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意，知2y02=8-x02，由

x2+2y2=8 x0x 8 + y0y 4 =1

，得x2-2x0x+x02=0，由△=(-2x0)2-4x02=0，知直線為橢圓的切線．
（2）設P（x₀，y₀），則x₀=4-y₀，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則PM，PN切線方程為

x1x 8 + y1y 4 =1 x2x 8 + y2y 4 =1

，且過P（x₀，y₀），則

x1x0 8 + y1y0 4 =1 x2x0 8 + y2y0 4 =1

，故MN所在直線方程x₀x+2y₀y-8=0，由此能求出求橢圓的右焦點F到直線MN的距離的最大值．

解答：解：（1）由題意，x02+2y02=8，即2y02=8-x02，…①
由

x2+2y2=8 x0x 8 + y0y 4 =1

，
則（2y02+x0 2）x²-16x₀x+64-16y02=0，（4分）
代入①式，得x2-2x0x+x02=0，
則△(-2x0)2-4x02=0，
∴直線為橢圓的切線（6分）
（2）設P（x₀，y₀），則x₀+y₀-4=0，即x₀=4-y₀，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則由（1）知，PM，PN切線方程為

x1x 8 + y1y 4 =1 x2x 8 + y2y 4 =1

，
且過P（x₀，y₀），則

x1x0 8 + y1y0 4 =1 x2x0 8 + y2y0 4 =1

，
∴MN所在直線方程為

x0x

8

+

y0y

4

=1，
即x₀x+2y₀y-8=0，（10分）
設所求距離為d，且F（2，0），
則d=

|2x0-8|

x02+4y02

=

|2y0|

5y02-8y0+16

=

2

16 y02 - 8 y0 +5

=

2

( 4 y0 -1)2+4

，
∴當y₀=4時，d_min=1．（15分）

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．