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已知橢圓:
x2
8
+
y2
4
=1.
(1)若點(x,y0)為橢圓上的任意一點,求證:直線
x0x
8
+
y0y
4
=1為橢圓的切線;
(2)若點P為直線x+y-4=0上的任意一點,過P作橢圓的切線PM、PN,其中M、N為切點,試求橢圓的右焦點F到直線MN的距離的最大值.
(1)由題意,x02+2y02=8,即2y02=8-x02,…①
x2+2y2=8
x0x
8
+
y0y
4
=1

則(2y02+x0 2)x2-16x0x+64-16y02=0,(4分)
代入①式,得x2-2x0x+x02=0
則△(-2x0)2-4x02=0
∴直線為橢圓的切線(6分)
(2)設P(x0,y0),則x0+y0-4=0,即x0=4-y0
設M(x1,y1),N(x2,y2),
則由(1)知,PM,PN切線方程為
x1x
8
+
y1y
4
=1
x2x
8
+
y2y
4
=1

且過P(x0,y0),則
x1x0
8
+
y1y0
4
=1
x2x0
8
+
y2y0
4
=1

∴MN所在直線方程為
x0x
8
+
y0y
4
=1

即x0x+2y0y-8=0,(10分)
設所求距離為d,且F(2,0),
d=
|2x0-8|
x02+4y02

=
|2y0| 
5y02-8y0+16 

=
2
16
y02
-
8
y0
+5

=
2
(
4
y0
-1)2+4

∴當y0=4時,dmin=1.(15分)
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
8
+
y2
4
=1
的左焦點為F1,直線l:y=x-2與橢圓C交于A、B兩點.
(1)求線段AB的長;
(2)求△ABF1的面積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
8
+
y2
m
=1
,長軸在y軸上,若焦距為4,則m等于
12
12

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓M:
x2
8
+
y2
4
=1
和直線l1:y=
3
x
,若雙曲線N的一條漸近線為l1,其焦點與M的焦點相同.
(1)求雙曲線N的方程;
(2)設直線l2過點P(0,4),且與雙曲線N相交于A,B兩點,與x軸交于點Q(Q與雙曲線N的頂點不重合),若
PQ
=λ1
QA
=λ2
QB
,且λ1+λ2=-
8
3
,求直線l2的方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓:
x2
8
+
y2
4
=1.
(1)若點(x,y0)為橢圓上的任意一點,求證:直線
x0x
8
+
y0y
4
=1為橢圓的切線;
(2)若點P為直線x+y-4=0上的任意一點,過P作橢圓的切線PM、PN,其中M、N為切點,試求橢圓的右焦點F到直線MN的距離的最大值.

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