Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+ax2+bx，且f'（-1）=0
（Ⅰ）試用含a的代數式表示b；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）令a=-1，設函數f（x）在x₁，x₂（x₁＜x₂）處取得極值，記點M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂）），證明：線段MN與曲線f（x）存在異于M、N的公共點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）：已知f′（-1）=0，根據求導數的方法先求出f′（x），把x=-1代入得到關于a和b的等式解出b即可；
（Ⅱ）：令f′（x）=0求出穩定點時x的值1-2a和-1，根據1-2a和-1的大、小、相等分三種情況討論函數的增減性即可；
（Ⅲ）：利用反證法，假設線段MN與曲線f（x）不存在異于M、N的公共點．推出函數不單調矛盾．原結論正確．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²+2ax+b依題意，得f′（-1）=1-2a+b=0
故b=2a-1．
（Ⅱ）由（a）得f(x)=

1

3

x3+ax2+(2a-1)x
故f′（x）=x²+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1）
令f′（x）=0，則x=-1或x=1-2a
分情況討論得：
當x變化時，f′（x）與f（x）的變化如下表：

（1）當a＞1時，1-2a＜-1由此得，函數f（x）的單調增區間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），單調減區間為（1-2a，-1）．
（2）當a=1時，1-2a=-1．此時f′（x）≥0恒成立，且僅在x=-1處f′（x）=0故函數f（x）的單調增區間為R．
（3）當a＜1時，1-2a＞-1同理可得函數f（x）的單調增區間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞）單調減區間為（-1，1-2a）．
（Ⅲ）假設線段MN與曲線f（x）不存在異于M、N的公共點．
當a=-1時，由（a）的b=2a-1=-3．f（x）=

1

3

x3-x²-3x就不在區間內單調與a＜-1單調減矛盾．
所以假設錯誤．故線段MN與曲線f（x）存在異于M、N的公共點．

點評：此題考查學生利用導數研究函數單調的方法，以及反證法的運用．