Question

數列{a_n}，前n項和S_n，滿足a1=

1

2

，Sn+2an+1=1(n∈N*)
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{nS_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知Sn+2an+1=1(n∈N*)可得，S_n-1+2a_n=1（n≥2）兩式相減可得，2a_n+1與a_n的關系，結合等比數列的通項公式可求
（2）由（1）及已知可求nS_n，然后利用分組求和及錯位相減求和即可求解

解答：解：（1）∵Sn+2an+1=1(n∈N*)
∴S_n-1+2a_n=1（n≥2）
兩式相減可得，S_n-S_n-1+2a_n+1-2a_n=0
即2a_n+1=a_n
∴

an+1

an

=

1

2

∵a1=

1

2

∴數列{a_n}是以

1

2

為首項以

1

2

為公比的等比數列
∴an=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n
（2）：∵Sn+2an+1=1(n∈N*)
∴Sn+2•(

1

2

)n+1=1
∴Sn=1-(

1

2

)n
∴nS_n=n-n•(

1

2

)n
令Sn=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n
則

1

2

Sn=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1
兩式相減可得，

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1
=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1
∴S_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

2+n

2n

∴Tn=1-1•

1

2

+2-2•(

1

2

)2+…+n-n•(

1

2

)n
=(1+2+3+…+n)-[1•

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n]
=

n(n+1)

2

-2+

2+n

2n

點評：本題主要考查了數列的遞推公式在數列通項公式求解中的應用及數列求和的錯位相減求和方法的應用，屬于數列知識的綜合應用．