Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，并證明：不等式S_n+1≤4S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=4a_n-3n+1可得a_n+1-（n+1）=4a_n-3n+1-（n+1）=4a_n-4n=4（a_n-n），從而可證
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求a_n，利用分組求和及等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式可求S_n，進(jìn)而可證不等式．

解答：（Ⅰ）證明：∵a_n+1=4a_n-3n+1n∈N^*，
∴a_n+1-（n+1）=4a_n-3n+1-（n+1）=4a_n-4n=4（a_n-n）
∴{a_n-n}為首項a₁-1=1，公比q=4的等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：∵a_n-n=4^n-1，∴a_n=n+4^n-1，
∴S_n=1+2+…+n+（1+4+…+4^n-1）=

n(n+1)

2

+

4n-1

3

∴S_n+1-4S_n=

(n+1)(n+2)

2

+

4n+1-1

3

-4[

n(n+1)

2

+

4n-1

3

]=-

n(3n+1)

2

+2≤0
∴S_n+1≤4S_n．

點評：本題考查利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造證明等比數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式的求解及分組求和方法的應(yīng)用，考查不等式的證明，作差法證明與數(shù)列有關(guān)的不等式是常規(guī)思路，屬于中檔題．