Question

已知函數f(x)=

1

2x+1

+m，m∈R．
（1）若m=-

1

2

，求證：函數f（x）是R上的奇函數；
（2）若函數f（x）在區間（1，2）沒有零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的定義，考察f（-x）=-f（x）或f（x）+f（-x）=0在定義域內是否恒成立，若是則為奇函數，否則不是奇函數．
（2）求導函數，確定f（x）的單調性，要使函數f（x）在區間（1，2）上沒有零點，先考察其對立面即在區間（1，2）恰有一個零點時m的取值范圍，最后由此求補集即可求得所求實數m的取值范圍．

解答：解：（1 ）定義域為R關于原點對稱．因為
f（x）+f（-x）=

1

2x+1

-

1

2

+

1

2-x+1

-

1

2

=

1

2x+1

-

1

2

+

2x

2x+1

-

1

2

=0，
所以函數f（x）是定義在R上的奇函數．
（2）f'（x）=-

2xln2

(1+2x)2

＜0，
∴f（x）是實數集R上的單調遞減函數（不說明單調性扣2分）
又函數f（x）的圖象不間斷，在區間（1，2）恰有一個零點，有f（1）f（2）＜0
即（m+

1

3

）（m+

1

5

）＜0解之得-

1

3

＜m＜-

1

5

，故函數
f（x）在區間（1，2）沒有零點時，實數m的取值范圍是m≥-

1

5

或m≤-

1

3

…（14分）

點評：本題考查函數奇偶性的判斷，考查導數知識的運用，考查函數的零點，考查不等式的解，屬于中檔題．