Question

已知函數 f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）當a=2時，求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程及函數f（x）的單調區間．
（2）設f（x）在[1，2]上的最小值為g（a），求y=g（a）的解析式．

Answer 1

（1）求導函數，可得f′(x)=

1

x

-2（x＞0），則f′（1）=-1，f（1）=-2
∴切線方程：y-（-2）=-1（x-1），即y=-x-1
f′(x)=

1

x

-2（x＞0），
令f′(x)=

1

x

-2＞0，得0＜x＜

1

2

；令f′(x)=

1

x

-2＜0，得x＞

1

2

故函數f（x）的單調遞增區間為(0，

1

2

)，單調減區間是[

1

2

，+∞)．
（2）①當

1

a

≤1，即a≥1時，函數f（x）在區間[1，2]上是減函數，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．（10分）
②當

1

a

≥2，即a≤

1

2

時，函數f（x）在區間[1，2]上是增函數，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．（12分）
③當1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1時，函數f（x）在[1，

1

a

]上是增函數，在[

1

a

，2]是減函數．
又f（2）-f（1）=ln2-a，
∴當

1

2

＜a＜ln2時，最小值是f（1）=-a；
當ln2≤a＜1時，最小值為f（2）=ln2-2a．
綜上可知，當0＜a＜ln2時，函數f（x）的最小值是f（x）_min=-a；
當a≥ln2時，函數f（x）的最小值是f（x）_min=ln2-2a．
即g(a)=

-a，…0＜a＜ln2 ln2-2a，…a≥ln2

（14分）