Question

已知在同一平面內滿足條件：=，．
（I）求證：△ABC為正三角形；
（II）類比于（I），在同一平面內，若向量滿足條件：=，，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用向量的運算法則將等式中的向量 用三角形的各邊對應的向量表示，得到邊的關系，得出三角形的形狀．
（II）先，根據向量的運算得出：∠AOB=∠COD；∠AOD=∠BOC從而∠AOD+∠COD=180°即A、O、C三點共線及、O、D三點共線，又得出四邊形ABCD為矩形．
解答：解：（I）證明：設
則（3分）
∴△ABC為正三角形（6分）
（II）四邊形ABCD為矩形（8分），則⇒2r²+2r²cos∠AOB=2r²+2r²cos∠COD⇒∠AOB=∠COD
同理∠AOD=∠BOC（10分）
又∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA=360°
∴∠AOD+∠COD=180°即A、O、C三點共線
同理B、O、D三點共線又
∴四邊形ABCD為矩形．（12分）
點評：本題考查向量的運算法則及利用向量判斷出三角形的形狀．解答的基礎是對向量運算和變形的熟悉掌握．