Question

如圖，P是二面角α-AB-β棱AB上的一點，分別在α，β上引射線PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α-AB-β的大小是

 

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是二面角及其度量，我們要根據二面角的定義，在兩個平面的交線上取一點Q，然后向兩個平面引垂線，構造出二面角的平面角，然后根據平面幾何的性質，求出含二面角的平面角的三角形中相關的邊長，解三角形即可得到答案．

解答：解：過AB上一點Q分別在α，β內做AB的垂線，交PM，PN于M點和N點
則∠MQN即為二面角α-AB-β的平面角，如下圖所示：
設PQ=a，則∵∠BPM=∠BPN=45°
∴QM=QN=a
PM=PN=

2

a
又由∠MPN=60°，易得△PMN為等邊三角形
則MN=

2

a
解三角形QMN易得∠MQN=90°
故答案為：90°

點評：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此題是利用二面角的平面角的定義作出∠MQN為二面角α-AB-β的平面角，通過解∠MQN所在的三角形求得∠MQN．其解題過程為：作∠MQN→證∠MQN是二面角的平面角→計算∠MQN，簡記為“作、證、算”．