Question

已知，如圖：四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點，
（1）求證：直線MN⊥直線AB；
（2）若平面PDC與平面ABCD所成的二面角大小為θ，能否確定θ使直線MN是異面直線AB與PC的公垂線，若能確定，求出θ的值，若不能確定，說明理由．

Answer 1

（1）證明：連接AN、BN、AC，
∵PA⊥面ABCD，且AC?面ABCD，
∴PA⊥AC，
∵N是PC的中點，
∴AN=

1

2

PC，
∵BC⊥AB，
∴由三垂線定理得PB⊥BC，得BN=

1

2

PC，
∴AN=BN，，∴MN⊥AB．

（2）假設MN是異面直線AB與PC的公垂線，則MN⊥PC，
連接CM、PM，由于N是PC的中點，∴CM=PM
∴△BCM≌△APM，∴BC=PA，∴DA=PA，
∵PA⊥面ABCD，平面ABCD是矩形，∴CD⊥面PAD，
∴PA⊥CD，AD⊥CD，
∴∠PDA為面PDC與面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PDA=θ，
∴當θ=

π

4

時，MN為異面直線AB與PC的公垂線．