Question

如圖，四邊形ABCD中，△BCD為正三角形，AD=AB=2，BD=2

3

，AC與BD交于O點．將△ACD沿邊AC折起，使D點至P點，已知PO與平面ABCD所成的角為θ，且P點在平面ABCD內的射影落在△ACD內．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若已知二面角A-PB-D的余弦值為

21

7

，求θ的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理，可證AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用二面角A-PB-D的余弦值為

21

7

，可求θ的大小．

解答：（Ⅰ）證明：由題意，O為BD的中點，則AC⊥BD，
又AC⊥PO，BD∩PO=O，所以AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）解：以OB為x軸，OC為y軸，過O垂直于平面ABC向上的直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系，
則A（0，-1，0），B（

3

，0，0），P（，-

3

cosθ，0，

3

sinθ），則

AB

=(

3

，1，0)，

AP

=(-

3

cosθ，1，

3

sinθ)
平面PBD的法向量為

j

=(0，1，0)
設平面ABP的法向量為

n

=(x，y，z)
則由

n ⊥ AB n ⊥ AP

得，

3 x+y=0 - 3 xcosθ+y+ 3 zsinθ=0

，令x=1，則

n

=(1，-

3

，

cosθ+1

sinθ

)
∴cos＜

n

，

j

＞=

| n • j |

| n || j |

=

3

4+ (cosθ+1)2 sin2θ

=

21

7

∴

(cosθ+1)2

sin2θ

=3，即sin(θ-

π

6

)=

1

2

，
又θ∈(0，

π

2

)，∴θ=

π

3

．

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．